2.4-Floating_Points

Floating Point 는 형태로 표현한다.
매우 큰 수, 0에 근접한 수, 더 일반적으로 실제 연산의 근삿값으로 유용하다.

1980년전에는 각자만의 규격으로 소수를 구현했다.
그 당시 컴퓨터 제작자의 관심사는 정확도가 아닌, 속도와 구현의 난이도 였다.

1985년, IEEE Standard 754 가 생기면서, 소수 표현과 연산 방법에 대한 표준이 정립되었다.
1976년, Intel 의 8087 chip, 8086 에서 floating point 를 지원하는 칩,
을 디자인했다.
현대에 와서는 대부분의 컴퓨터가 IEEE floating point 를 지원한다.

이 챕터에서는 floating point 를 알아보며, round 관련 이슈를 살펴본다.
이는 숫자를 정확히 표현할 수 없기 때문에, 생기는 올림/내림에 의해 발생한다.

이후, 사칙연산, 관계 연산자의 수학적 특성을 살펴본다.
또한, 해당 표준이 작고 일관적인 규칙으로 이루어져있으며, 이로 인해 이해하기 쉽고, 우아하다는 것을 이해한다.

2.4.1 Fractional Binary Numbers

십진법에서, 을 라고 표현하듯이,
이진법에서는, 을 라고 표현할 수 있다.
"." 의 왼쪽은 지수가 양수, 오른쪽은 지수가 음수로 이해할 수 있다.
"." 의 위치를 왼쪽으로 한 칸 움직이면, 2로 나누는 것이 되며, 오른쪽은 2를 곱하는 것으로 해석할 수 있다.

는 해당 자릿수로 나타낼 수 있는 가장 1에 근접한 소수이다.
예를 들어, 이다. 나중에 이러한 표기로 를 사용한다.
십진수에서 특성 소수() 을 표현하지 못하듯이 이진법에서도 불가능한 숫자들이 있다.
가능한 숫자는 모두 의 형태를 띈다.

2.4.2 IEEE Floating-Point Representation

위의 표기는 비효율적이다. 의 경우, 101 개의 bit 가 필요하다.
대신에, 로 표현한다.

: 부호로서, 1이라면 음수를, 0이라면 양수를 나타낸다.
: 2진수로 표현된 소수이다. 단, 다음 범위를 만족한다.
- 과 사이 혹은 과 사이
: 로 표현되는 가 음수가 가능한 가중치를 의미한다.

크게 4가지의 경우의 수가 있다.
PARA/Project/CS_APP_organize/chapter2/imgs/floating_point.png
single-precision format

: 1번째 bit
: 8(= k) 번째 bit
: 23(= n) 번째 bit

double-precision format

: 1번째 bit
: 11(= k) 번째 bit
: 52(= n) 번째 bit

Case 1: Normalized Values

가장 흔한 경우로, 의 bit 패턴이 모두 0이거나 모두 1이 아닌 경우이다.
이 때, exponant value 는 로 해석된다.
는 부호 없는 bit 표현이며, 는 의 값을 갖는다.

은 그 값을 라고 했을 때, 을 만족한다.
는 로 정의된다. 이것은 표현이라고 불린다.
해당 값은 항상 을 가지기 때문에, 이며,
1이 항상 지수부분에 오므로, 생략함으로서 비트를 효율적으로 사용한다.

Case 2: Denormalized Values

의 값이 모두 0 임을 의미한다.
를 가지며, significand 는 이다.
즉, 의 적용이 되어있지 않다.

이 경우는 2가지의 목적이 있다.

첫번째는 0을 표현한다.
Case 1 에서는 항상 이 1 이상이므로 0을 표현할 방법이 없다.
모든 bit 가 0 인 것을 , 부호비트가 1이고 나머지가 모두 0인 것을 으로 해석한다.
이 둘의 구분은 어떤 점에선 다르기도 하다.

2번째는 0.0 에 매우 가까운 숫자를 표현하는 것이다.
0.0 에 가까워지는 숫자에게 라는 특성을 부여한다.

Case 3: Special Values

exponand 가 모두 1인 경우이다.
fraction 부분이 모두 0이라면, 무한을 의미한다. 이라면 을, 이라면 이다.
이는 결과가 OverFlow 임을 의미한다.

fraction 부분이 모두 0이 아니라면, 라고 부른다.

2.4.3 Example Numbers

PARA/Project/CS_APP_organize/chapter2/imgs/floating_point_range.png

한 가지 재미있는 특성은 이 bit 표현을 부호 없는 정수로 해석할 때,
정렬 순서가 원래 의도인 floating-point 와 동일하다는 것이다.
이는 정수와 정렬하는 방법과 동일한 방법으로 정렬하고자 하는 IEEE 의 의도된 설계이다.

앞에서 정수 표현과 소수 표현에서 일부 bit 패턴이 겹친다고 했고, 의도된 사항이라고 했는데,
이는 소수 표현을 만드는 방법을 떠올리면 된다.
먼저 해당하는 숫자를 로 표현하는데, 이 때 부분이 결국 정수 표현과 동일하다.
따라서 소수 부분을 나타내는 부분이 정수와 일치할 수 있다.